Symbolic Spherical Harmonics
I have published a Python package that uses SymPy (Symbolic Python) to derive symbolic expressions for the real spherical harmonics in cartesian or spherical coordinates. It is hosted on a Bitbucket git repository
It handles all of the common conventions for normalization and can emit expressions in the syntax of many common programming languages, which is useful for making Ambisonic panners. Here are some examples:
It can also produce "balloon plots," such as these, using matplotlib or mayavi.
Lastly, the --horner flag causes the polynomial to be rewritten using Horner's method, which results in a more numerically-stable expression.
It handles all of the common conventions for normalization and can emit expressions in the syntax of many common programming languages, which is useful for making Ambisonic panners. Here are some examples:
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi 1 1 x
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi --spherical 1 1 cos(phi)*cos(theta)
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi 5 -3 sqrt(70)*(9*z**2 - 1)*(3*x**2*y - y**3)/16
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi -t c 3 2 (1.0L/2.0L)*sqrt(15)*z*(pow(x, 2) - pow(y, 2))
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi 70 -33 15*sqrt(6041436275243981591812583842)*z*(33*x**32*y - 5456*x**30*y**3 + 237336*x**28*y**5 - 4272048*x**26*y**7 + 38567100*x**24*y**9 - 193536720*x**22*y**11 + 573166440*x**20*y**13 - 1037158320*x**18*y**15 + 1166803110*x**16*y**17 - 818809200*x**14*y**19 + 354817320*x**12*y**21 - 92561040*x**10*y**23 + 13884156*x**8*y**25 - 1107568*x**6*y**27 + 40920*x**4*y**29 - 528*x**2*y**31 + y**33)*(2307751067850999624645*z**36 - 11057282094883206834630*z**34 + 24011251264436160827025*z**32 - 31303557204005661522640*z**30 + 27361191917035023699300*z**28 - 16959761707353007056360*z**26 + 7691054727753107851140*z**24 - 2595406544798574078000*z**22 + 656637855834039241734*z**20 - 124565446906186306020*z**18 + 17603877207403188702*z**16 - 1828974255314617008*z**14 + 136782262683785460*z**12 - 7136465879154024*z**10 + 248107220830260*z**8 - 5364480450384*z**6 + 64595234781*z**4 - 355113990*z**2 + 563673)/73786976294838206464
bash-3.2$ python symYlm.py --spherical --seminormalized --four_pi 70 -33 15*sqrt(6041436275243981591812583842)*(sin(theta)**32 - 528*sin(theta)**30*cos(theta)**2 + 40920*sin(theta)**28*cos(theta)**4 - 1107568*sin(theta)**26*cos(theta)**6 + 13884156*sin(theta)**24*cos(theta)**8 - 92561040*sin(theta)**22*cos(theta)**10 + 354817320*sin(theta)**20*cos(theta)**12 - 818809200*sin(theta)**18*cos(theta)**14 + 1166803110*sin(theta)**16*cos(theta)**16 - 1037158320*sin(theta)**14*cos(theta)**18 + 573166440*sin(theta)**12*cos(theta)**20 - 193536720*sin(theta)**10*cos(theta)**22 + 38567100*sin(theta)**8*cos(theta)**24 - 4272048*sin(theta)**6*cos(theta)**26 + 237336*sin(theta)**4*cos(theta)**28 - 5456*sin(theta)**2*cos(theta)**30 + 33*cos(theta)**32)*(2307751067850999624645*sin(phi)**36 - 11057282094883206834630*sin(phi)**34 + 24011251264436160827025*sin(phi)**32 - 31303557204005661522640*sin(phi)**30 + 27361191917035023699300*sin(phi)**28 - 16959761707353007056360*sin(phi)**26 + 7691054727753107851140*sin(phi)**24 - 2595406544798574078000*sin(phi)**22 + 656637855834039241734*sin(phi)**20 - 124565446906186306020*sin(phi)**18 + 17603877207403188702*sin(phi)**16 - 1828974255314617008*sin(phi)**14 + 136782262683785460*sin(phi)**12 - 7136465879154024*sin(phi)**10 + 248107220830260*sin(phi)**8 - 5364480450384*sin(phi)**6 + 64595234781*sin(phi)**4 - 355113990*sin(phi)**2 + 563673)*sin(phi)*sin(theta)*cos(phi)**33/73786976294838206464
bash-3.2$ python symYlm.py --spherical --seminormalized --four_pi -t c 3 2 (1.0L/2.0L)*sqrt(15)*sin(phi)*pow(cos(phi), 2)*cos(2*theta)
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi -t javascript 3 2 (1/2)*Math.sqrt(15)*z*(Math.pow(x, 2) - Math.pow(y, 2))
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi -t faust 3 2 (1/2)*sqrt(15)*z*(pow(x, 2) - pow(y, 2))
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi -t matlab 3 2 sqrt(15)*z.*(x.^2 - y.^2)/2
python symYlm.py --spherical --seminormalized --four_pi -t pretty 3 2
____ 2
\/ 15 *sin(phi)*cos (phi)*cos(2*theta)
--------------------------------------
2
bash-3.2$ python symYlm.py --spherical --seminormalized --four_pi -t latex 3 2
\frac{\sqrt{15}}{2} \sin{\left (\phi \right )} \cos^{2}{\left (\phi \right )} \cos{\left (2 \theta \right )}
It can also produce "balloon plots," such as these, using matplotlib or mayavi.
bash-3.2$ python plot_Ylm.py 1 -1
bash-3.2$ python plot_Ylm.py 2 1
bash-3.2$ python plot_Ylm.py 3 2
Lastly, the --horner flag causes the polynomial to be rewritten using Horner's method, which results in a more numerically-stable expression.
bash-3.2$ python symYlm.py --seminormalized --four_pi --horner 70 -33 x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*(x**2*y*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(1142336778586244814199275*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/73786976294838206464 - 2736677318483593691570925*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) + 11885569375895899609377375*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464) - 968453800998925153356675*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 3385947499733084182788375*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 1049385255642467311612275*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 951768022559447096578575*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 80295389979705885538125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 162517869318924712329165*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 15414974054640555369975*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) + 4356959608832289203745*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 56583891023795963685*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 16926805007118450675*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 441568826272655235*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 30703268577744675*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 165963613933755*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 31974641216595*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464) - 87890712525*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) + 279018135*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464) + y**3*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-11804146712057863080059175*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 28278998957663801479566225*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 122817550217590962630232875*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 10007355943655559918018975*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 34988124163908536555479875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 10843647641638828886660175*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 9834936233114286664645275*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 829719029790294150560625*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 1679351316295555360734705*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 159288065231285738823075*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 45021915957933655105365*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 584700207245891624745*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 174910318406890656975*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 4562877871484104095*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 317267108636694975*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1714957343982135*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 330404625904815*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 908204029425*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 2883187395*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**5*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(1026960763949034087965148225*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/9223372036854775808 - 2460272909316750728722261575*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 10685126868930413748830260125*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 870639967098033712867650825*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 3043966802260042680326749125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 943397344822578113139435225*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 855639452280942939824138925*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 72185555591755591098774375*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 146103564517713316383919335*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 13858061675121859277607525*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 3916906688340227994166755*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 50868918030392571352815*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 15217197701399487156825*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 396970374819117056265*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 27602238451392462825*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 149201288926445745*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 28745202453718905*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 79013750559975*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 250837303365*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808)) + y**7*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-9242646875541306791686334025*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 22142456183850756558500354175*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 96166141820373723739472341125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 7835759703882303415808857425*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 27395701220340384122940742125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 8490576103403203018254917025*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 7700755070528486458417250325*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 649670000325800319888969375*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 1314932080659419847455274015*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 124722555076096733498467725*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 35252160195062051947500795*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 457820262273533142175335*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 136954779312595384411425*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 3572733373372053506385*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 248420146062532165425*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1342811600338011705*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 258706822083470145*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 711123755039775*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 2257535730285*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**9*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(333762248283436078588673173125*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/18446744073709551616 - 799588695527943986834735011875*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 3472666232402384468369834540625*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 282957989306860956681986518125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 989289210734513871106193465625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 306604137067337886770316448125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 278082821991306455442845150625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 23460305567320567107101671875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 47483658468256827824773783875*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 4503870044414604265222445625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 1272994673710574098104195375*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 16532398359877585689664875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 4945589252954833325968125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 129015371816213043286125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 8970727496702550418125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 48490418901094867125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 9342190797458644125*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 25679468931991875*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 81522123593625*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616)) + y**11*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-418719911482856171320335435375*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 1003120363480511547119940287625*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 4356617637013900514863974241875*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 354983659312243745655583086375*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 1241108282557844674660497256875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 384648826502660257948215180375*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 348867540316366280464660279875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 29432019711729438734363915625*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 59570407896540383998352565225*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 5650309692083776260006340875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 1597029681564174777621626925*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 20740645215119152956125025*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 6204466517343336354396375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 161855648278521817940775*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 11254185404954108706375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 60833434621373560575*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 11720203000448117175*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 32216061023771625*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 102273209599275*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**13*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(2480110244936917322435832963375*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/9223372036854775808 - 5941559075999953009864261703625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 25804581388466949203425078201875*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 2102595520541751416575376742375*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 7351179827458003072989099136875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 2278304587746526143231736068375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 2066369277258477199675295503875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 174328116754089752503540115625*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 352840108310277659067165194025*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 33467218945419290155422172875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 9459329652341650605912713325*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 122848437043398059817048225*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 36749532448879761483732375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 958683455188167690879975*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 66659405860112797722375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 360321112757366474175*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 69419663925731155575*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 190818207602339625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 605772087626475*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808)) + y**15*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-2243909269228639482203848871625*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 5375696306857100342258141541375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 23347002208612954041194118373125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 1902348328109203662615817052625*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 6651067462938193256513946838125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 2061323198437333177209665966625*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 1869572203233860323515743551125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 157725438967985966550822009375*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 319236288471203596298863746975*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 30279864760141262521572442125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 8558441114023398167254359675*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 111148585896407768405900775*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 33249576977557879437662625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 867380268979770767939025*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 60310891016292531272625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 326004816304283952825*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 62808267361375807425*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 172645044973545375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 548079507852525*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**17*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(20195183423057755339834639844625*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/36893488147419103232 - 48381266761713903080323273872375*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) + 210123019877516586370747065358125*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 17121134952982832963542353473625*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 59859607166443739308625521543125*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 18551908785935998594886993699625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 16826149829104742911641691960125*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 1419528950711873698957398084375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 2873126596240832366689773722775*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 272518782841271362694151979125*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 77025970026210583505289237075*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 1000337273067669915653106975*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 299246192798020914938963625*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 7806422420817936911451225*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 542798019146632781453625*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 2934043346738555575425*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 565274406252382266825*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 1553805404761908375*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) + 4932715570672725*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232)) + y**19*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-1771507317812083801739880688125*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 4243970768571395007045901216875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 18431843848904963716732198715625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 1501853943244108154696697673125*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 5250842733898573623563642240625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1627360419818947245165525763125*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 1475978055184626571196639645625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 124520083395778394645385796875*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 252028648793055470762260852875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 23905156389585207253872980625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 6756664037386893289937652375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 87748883602427185583605875*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 26249666034914115345523125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 684773896562976922057125*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 47613861328651998373125*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 257372223398118910125*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 49585474232665111125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 136298719715956875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 432694348304625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**21*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(1535306342103805961507896596375*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/9223372036854775808 - 3678107999428542339439781054625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 15974264669050968554501238886875*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 1301606750811560400737137983375*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 4550730369378763807088489941875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 1410379030509754279143455661375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1279180981160009695037087692875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 107917405609674608692667690625*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 218424828953981407993959405825*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 20717802204307179620023249875*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 5855775499068640851279298725*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 76049032455436894172458425*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 22749710563592233299453375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 593470710354579999116175*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 41265346484831731923375*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 223055926945036388775*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 42974077668309762975*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 118125557087162625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 375001768530675*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808)) + y**23*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-200257348970061647153203903875*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 479753217316766392100841007125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 2083599739441430681021900724375*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 169774793584116574009191910875*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 593573526440708322663716079375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 183962482240402732062189868875*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 166849693194783873265707090375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 14076183340392340264261003125*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 28490195080954096694864270325*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 2702322026648762559133467375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 763796804226344458862517225*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 9919439015926551413798925*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 2967353551772899995580875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 77409223089727825971675*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 5382436498021530250875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 29094251340656920275*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 5605314478475186475*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 15407681359195125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 48913274156175*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**25*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(120154409382036988291922342325*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/18446744073709551616 - 287851930390059835260504604275*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 1250159843664858408613140434625*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 101864876150469944405515146525*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 356144115864424993598229647625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 110377489344241639237313921325*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 100109815916870323959424254225*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 8445710004235404158556601875*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 17094117048572458016918562195*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 1621393215989257535480080425*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 458278082535806675317510335*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 5951663409555930848279355*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1780412131063739997348525*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 46445533853836695583005*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 3229461898812918150525*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 17456550804394152165*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 3363188687085111885*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 9244608815517075*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 29347964493705*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616)) + y**27*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-2396241782547746205252012525*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 5740636788405751700351943675*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 24931962694170965413937273625*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 2031493256562078663357851925*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 7102589205273432920762414625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 2201260471252682263992015525*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 1996492055322200192922990825*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 168432963047429712563806875*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 340908317207997738229145115*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 32335477241951004981084225*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 9139448939460531986389095*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 118694142070915999823235*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 35506794636598803365925*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 926264207911273131285*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 64405223053249079925*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 348136340828373405*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 67072139058677445*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 184365417973275*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 585287041185*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**29*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(177062200680867946200887625*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/9223372036854775808 - 424184984364957022193493375*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 1842263253263864439453493125*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 150110339154833398770284625*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 524821862458628048332198125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 162654714624582433299902625*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 147524043496714299969679125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 12445785446854412258409375*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 25190269744433330411020575*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 2389320978469286082346125*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 675328739369004826580475*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) - 8770503108688374371175*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 2623654776103359854625*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 68443168072261561425*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 4759006629550424625*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 25724360159732025*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) + 4956069388572225*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) - 13623060441375*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 43247810925*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808)) + y**31*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(-1142336778586244814199275*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/4611686018427387904 + 2736677318483593691570925*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 11885569375895899609377375*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 968453800998925153356675*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 3385947499733084182788375*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 1049385255642467311612275*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 951768022559447096578575*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 80295389979705885538125*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 162517869318924712329165*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 15414974054640555369975*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) - 4356959608832289203745*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) + 56583891023795963685*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 16926805007118450675*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 441568826272655235*sqrt(6041436275243981591812583842)/576460752303423488) - 30703268577744675*sqrt(6041436275243981591812583842)/1152921504606846976) + 165963613933755*sqrt(6041436275243981591812583842)/288230376151711744) - 31974641216595*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 87890712525*sqrt(6041436275243981591812583842)/2305843009213693952) - 279018135*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904)) + y**33*z*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(z**2*(34616266017764994369675*sqrt(6041436275243981591812583842)*z**2/73786976294838206464 - 82929615711624051259725*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) + 360168768966542412405375*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464) - 29347084878755307677475*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 102604469688881338872375*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 31799553201286888230675*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 28841455229074154441775*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 2433193635748663198125*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 4924783918755294313005*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 467120425898198647575*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) + 132029079055523915265*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) - 1714663364357453445*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 512933485064195475*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 13380873523413795*sqrt(6041436275243981591812583842)/9223372036854775808) + 930402078113475*sqrt(6041436275243981591812583842)/18446744073709551616) - 5029200422235*sqrt(6041436275243981591812583842)/4611686018427387904) + 968928521715*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464) - 2663354925*sqrt(6041436275243981591812583842)/36893488147419103232) + 8455095*sqrt(6041436275243981591812583842)/73786976294838206464)
Comments